Ján Slávik študoval hru na violončele na bratislavskom Konzervatóriu u Gustáva Večerného a Karola Filipoviča a na Vysokej škole múzických umení u Jozefa Podhoranského. Komornú hru študoval vo Viedni na Hochschul e für Musik und Darstellende Kunst u Franza Samohyla a Güntera Pichlera. V roku 1992 ukončil doktorandské štúdium na VŠMU, kde od roku 1993 pôsobí ako pedagóg. V roku 2012 bol prezidentom republiky menovaný vysokoškolským profesorom v odbore hudobné umenie. Zúčastnil sa viacerých interpretačných kurzov (Weimar, Kerkrade, Bayreuth, Piešťany) a je držiteľom mnohých ocenení: medzi nimi Cena za najlepšiu interpretáciu súčasnej hudby (Pražská jar 1983), Cena hudobnej kritiky (Mladé pódium Karlovy Vary 1991). V roku 2001 dostal Cenu kritiky Slovenskej muzikologickej asociácie a v roku 2009 získal Cenu Sebastian za mimoriadny prínos k odkazu diela Johanna Sebastiana Bacha pre súčasníkov. Ján Slávik je zakladajúcim členom Moyzesovho kvarteta (1975), ktoré bolo v rokoch 1986–2005 komorným súborom Slovenskej filharmónie. V rokoch 2006–2007 bolo Moyzesovo kvarteto komorným súborom mesta Modra, od roku 2008 je komorným súborom mesta Skalica. S Moyzesovým kvartetom koncertoval takmer vo všetkých štátoch Európy, Japonsku, USA a Kanade a nahral s ním už viac ako 30 kompaktných diskov. Sólisticky nahral 12 CD a účinkoval s poprednými slovenskými orchestrami, s orchestrom Sinfonietta de Barcelona a Salzburgským komorným orchestrom. Vystupoval v Nemecku, Španielsku, Francúzsku, Taliansku, Dánsku, Rakúsku, Čechách, Poľsku, Rusku, Japonsku, na Ukrajine a na Malte. V roku 2006 bol Ján Slávik sólovým violončelistom Symfonického orchestra Slovenského rozhlasu. Od roku 2008 pôsobí ako koncertný majster skupiny violončiel v Slovenskej filharmónii. V júli 2012 účinkoval ako sólista Slovenskej filharmónie v Dvořákovom Violončelovom koncerte h mol v Tokiu. V spolupráci s Danielou Varínskou uviedol a nahral kompletné dielo Ludwiga van Beethovena pre klavír a violončelo, nahral tiež sólové suity a sonáty J. S. Bacha (Diskant). Venuje sa aj interpretácii súčasnej hudby a svoje diela mu venovali viacerí slovenskí skladatelia (Roman Berger, Jevgenij Iršai, Ladislav Kupkovič, Anton Steinecker, Ilja Zeljenka...). Nahral diela Ilju Zeljenku, Ladislava Kupkoviča a ďalších slovenských autorov, a s Danielou Varínskou aj sonáty Frica Kafendu, Michala Vileca a Vladimíra Godára. Od roku 1997 do roku 2004 bol členom sláčikového tria Amadé. Od roku 2005 je členom Bergerovho tria. Jeho dirigentskými partnermi boli Adolf Vykydal, Bystrík Režucha, Róbert Stankovský, Karol Kevický, Ondrej Lenárd, Leoš Svárovský, Bohdan Warchal, Jack van Steen, Hideaki Umeda, Harald Nerat, Joan Luis Moraleda, Stephen Somary, Harvey Bordowitz, Jerzy Swoboda, Juraj Valčuha. Koncertoval v rámci všetkých významných domácich hudobných festivalov, v zahraničí vystúpil na festivaloch Wurzer Sommerkonzerte (DE), Mladé pódium Karlove Vary (CZ), Festival Haute-Savoie (FR), Vendrell – Festival internacional de Música Pau Casals (ES), Medzinárodný hudobný festival Ljubljana (SI), Sommerkonzerte Langenargen (DE), Festival Est-Ouest Die (FR), Neue Musik Hannover (DE) a i. Pravidelne vedie majstrovské interpretačné kurzy (Dolný Kubín, Komárno, Žilina). Je zakladateľom Medzinárodného festivalu umenia Hudba Modre a Slovenského festivalu umenia Hudba Trnave ako aj Medzinárodného festivalu Divergencie v Skalici. Ján Slávik pravidelne spolupracuje s rozhlasom a televíziou a nahráva pre hudobné vydavateľstvá Diskant, Marco Polo, Naxos, TUTL a Classico.